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Bestimmtes Integral

In diesem Beitrag erfährst du, was das bestimmte Integral ist, wie du es berechnest und wie du damit Flächen unter Graphen bestimmst.

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Inhaltsübersicht

Bestimmtes Integral berechnen

Mit dem bestimmten Integral $\int_{a}^{b} f(x)\, dx$ ermittelst du die Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im Intervall I = [a, b].

Du berechnest dieses Integral, indem du die Intervallgrenzen und in die Stammfunktion F(x) einsetzt und die beiden Ergebnisse voneinander abziehst:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx=F(b)-F(a)$

Als Ergebnis bekommst du immer eine sogenannte Flächenbilanz. Das heißt, Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv und Flächen unterhalb zählen negativ. Sie verrechnen sich also miteinander.

Bestimmtes Integral berechnen — Beispiel

Schauen wir uns an einem Beispiel an, wie du das bestimmte Integral nun Schritt für Schritt berechnest:

➡️ Beispiel: Berechne $\int_{-1}^{2} x^2 - 4\, dx$ , also das Integral der Funktion auf dem Intervall [-1, 2].

1. Stammfunktion F bilden: Bilde die Stammfunktion der Funktion f(x), indem du sie aufleitest.

➡️ $f(x)=x^2 - 4 \Rightarrow F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$

2. Grenzen einsetzen: Setze zuerst die obere Grenze b, dann die untere Grenze a in F(x) ein.

➡️ $\int_{-1}^{2} x^2 - 4\, dx = F(2) - F(-1)$

3. Subtrahieren: Bilde F(b) − F(a). Achte dabei auf das negative Vorzeichen bei F(a), indem du es vollständig einklammerst — also F(b) - (F(a)) .

➡️ $F(2) - F(-1) = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{1}{3} + 4\right) = -\frac{16}{3} - \frac{11}{3} = -9$

4. Ergebnis deuten: Als Ergebnis bekommst du immer eine sogenannte Flächenbilanz. Das heißt, Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv und Flächen unterhalb zählen negativ. Sie verrechnen sich miteinander.

➡️ Die Flächenbilanz beträgt -9 FE. Da die Zahl negativ ist, bedeutet das: Hier liegt mehr Fläche unter der x-Achse als darüber.

Hättest du ein positives Ergebnis herausbekommen (z. B. $+9$ ), würde das bedeuten, dass mehr Fläche oberhalb der x-Achse liegt als darunter.

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Rechenregeln für bestimmte Integrale

Neben dem Grundprinzip $\int_{a}^{b} f(x)\, dx= F(b) - F(a)$ ) gibt es vier Regeln, die dir das Rechnen erleichtern.

Gleiche Grenzen
Sind obere und untere Grenze die gleiche Zahl, ist das Integral immer null. Denn ein Intervall der Länge null hat keinen Flächeninhalt:

$\int_{a}^{a} f(x)\, dx = 0$

Grenzentausch
Tauschst du die obere und untere Grenze, wechselt das Vorzeichen des Intagrals:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = -\int_{b}^{a} f(x)\, dx$

Das ist vor allem praktisch, wenn du versehentlich F(a) − F(b) gerechnet hast statt F(b) – F(a).

Additivität
Ein Integral lässt sich an einer Stelle c, die zwischen a und b liegt, zerlegen:

$\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \int_{a}^{c} f(x)\, dx + \int_{c}^{b} f(x)\, dx$

Das brauchst du zum Beispiel, wenn f im Intervall [a, b] eine Nullstelle bei c hat und du aber den Flächeninhalt berechnen musst.

Linearität
Konstante Faktoren kannst du vor das Integral ziehen:

$\int_{a}^{b} k \cdot f(x)\, dx = k \cdot \int_{a}^{b} f(x)\, dx$

Und Summen und Differenzen darfst du getrennt integrieren:

$\int_{a}^{b} \bigl(f(x) \pm g(x)\bigr)\, dx = \int_{a}^{b} f(x)\, dx \pm \int_{a}^{b} g(x)\, dx$

Das vereinfacht das Rechnen, wenn der Integrand aus mehreren Termen besteht.

Fläche mit bestimmten Integralen berechnen

Das bestimmte Integral liefert immer eine Flächenbilanz. Suchst du den tatsächlichen Flächeninhalt, musst du das Intervall an den Nullstellen zerlegen und die Beträge der Teilflächen addieren.

Wie das im Detail funktioniert, zeigt dieses Beispiel:

➡️ Gegeben: , Intervall [-1, 3], Einheit: FE.

1. Nullstellen ermitteln und Intervall zerlegen:
Bestimme zuerst alle Nullstellen im Intervall [-1, 3]. Dafür setzt du die Funktion f(x) gleich Null und rechnest aus.

Du zerlegst [a, b] genau dort in Teilintervalle, also zum Beispiel in I_1= [a, x₁], I_2= [x₁, x₂] und I_3= [x₂, b], wenn x₁ und x₂ solche Schnittpunkte sind.

$x^2 - 4 = 0$

$x^2 = 4$

$x = 2$

2. Teilintervalle bestimmen: An den Nullstellen wechselt die Fläche das Vorzeichen. Du zerlegst [a, b] genau dort in Teilintervalle

Im Intervall [-1, 3] liegt die Nullstelle bei x = 2. Du zerlegst das Intervall also in [-1, 2] und [2, 3].

3. Bestimme die Stammfunktion und Teilintegrale berechnen: Berechne für jedes Teilintervall das Integral von f(x). So erhältst du die einzelnen Teilflächen, die positiv oder negativ sein können.

➡️ Stammfunktion: $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 4x$
Teilintegral über [-1, 2]:

$F(2) - F(-1) = \left(\frac{8}{3} - 8\right) - \left(-\frac{1}{3} + 4\right) = -\frac{16}{3} - \frac{11}{3} = -9$

Teilintegral über [2, 3]:

$F(3) - F(2) = (9 - 12) - \left(\frac{8}{3} - 8\right) = -3 + \frac{16}{3} = \frac{7}{3}$

3. Ergebnisse addieren: Addiere zuletzt die Beträge der Teilintegrale, um den Flächeninhalt zu bekommen.

|-9| + | $\frac{7}{3}$ | = 9 + $\frac{7}{3}$ ≈ 11,33 FE

Wichtig: Frage dich immer schon vor dem Rechnen, ob die Aufgabe die Flächenbilanz oder den Flächeninhalt verlangt. Das bestimmt dein Vorgehen und verändert auch das Ergebnis. Die Flächenbilanz für dieses Beispiel wäre nämlich -9 + $\frac{7}{3}$ ≈ -6,67 FE.

Fläche zwischen zwei Graphen

Ein besonderer Fall ist die Berechnung der eingeschlossenen Fläche zwischen zwei Graphen. Hier berechnest du zuerst die Schnittstellen der beiden Graphen statt der Nullstellen. Außerdem arbeitest du beim Integrieren mit der Differenzfunktion d(x). Sie beschreibt den vertikalen Abstand zwischen den beiden Kurven:

$d(x) = f_{\text{oben}}(x) - f_{\text{unten}}(x)$

➡️Beispiel: Berechne die eingeschlossene Fläche zwischen den Graphen f und g.

Gegeben: f(x) = x^2 - 2x und g(x) = x , Einheit: FE

1. Zuerst berechnest du die Schnittstellen von f und g:

$x^2 - 2x = x \Rightarrow x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0,\ x_2 = 3$

Das Intervall ist also [0, 3] . Nun prüfst du mit einem Testwert, welcher Graph im Intervall oben liegt. z. B. mit x = 1 :

$f(1) = 1 - 2 = -1 < g(1) = 1$

Der Graph g liegt im Intervall [0, 3] also oberhalb von f. Da es keine weiteren Schnittpunkte gibt, musst du das Intervall nicht weiter zerlegen.

Die Differenzfunktion lautet:

$d(x) = g(x) - f(x) = x - (x^2 - 2x) = 3x - x^2$

2. Bestimme die Stammfunktion von d(x) und berechne das Integral: $F_d(x) = \dfrac{3}{2}x^2 - \dfrac{1}{3}x^3$

Das Integral über [0, 3]:

$F_d(3) - F_d(0) = \left(\frac{27}{2} - 9\right) - 0 = \frac{9}{2} = 4{,}5$

Da es nur ein Intervall gibt und sich das Vorzeichen der Differenzfunktion nicht ändert, entfällt der dritte Schritt. Die Flächenbilanz ist gleich dem Flächeninhalt zwischen den beiden Graphen und beträgt 4,5 FE.

Integralfunktion

Das bestimmte Integral zeigt dir die Flächenbilanz zwischen Graph und x-Achse. Doch was passiert, wenn die obere Grenze variabel wird? Genau das passiert bei der Integralfunktion. Mehr dazu, erfährst du in unserem Beitrag!

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