Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, verwende die Formel: cos(θ) = (a·b) : (|a|·|b|). Du teilst das Skalarprodukt der Vektoren durch das Produkt ihrer Beträge. Wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren im rechten Winkel zueinander.

Was ist das Skalarprodukt von Vektoren?

Ein Skalarprodukt ist die Multiplikation von zwei Vektoren, wobei das Ergebnis ein Skalar ist. Man schreibt es als a→ • b→. Dieses unterscheidet sich vom Kreuzprodukt, das einen Vektor ergibt.

Wie bestimmt man den Winkel eines resultierenden Vektors?

Bestimme den Winkel eines resultierenden Vektors durch Berechnung von tan^(-1) (y/x). Achte auf das Vorzeichen der x-Komponente: positiv bei direkter Berechnung, negativ erfordert θ ± 180∘.

Was passiert, wenn das Skalarprodukt 0 ist?

Wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren 0 ist, stehen die Vektoren senkrecht zueinander. Solche Vektoren sind orthogonal, was bedeutet, dass ihr Winkel 90° beträgt.

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Name: Winkel zwischen zwei Vektoren
Uploaded: 2025-04-24T15:20:21Z
Duration: 4 min 25 s
Description: Winkel zwischen zwei Vektoren

Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit einer Formel berechnen. Wie das genau funktioniert und worauf du achten musst, zeigen wir dir hier und im Video Schritt für Schritt!

Inhaltsübersicht

Winkel zwischen zwei Vektoren einfach erklärt

Um einen Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, benötigst du folgende Formel:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Damit findest du heraus, wie groß der Winkel θ (Theta) zwischen den Vektoren  $\vec{a}$  und  $\vec{b}$  ist.

Winkel zwischen zwei Vektoren, Winkel zwischen Vektoren — Der Winkel zwischen zwei Vektoren

Was brauchst du dafür?

Skalarprodukt $\vec{a} \circ \vec{b}$ : Dabei multiplizierst du die beiden Vektoren miteinander. Daraus bekommst du am Ende nur eine Zahl: das Skalarprodukt.
Betrag eines Vektors $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ : Das ist die Länge der Vektoren — wie bei einem Pfeil im Raum.

Sobald du Skalarprodukt und Längen berechnet hast, setzt du alles in die Formel ein. Mit dem Taschenrechner kannst du dann den Winkel berechnen. Wie das genau geht, zeigen wir dir im nächsten Schritt.

Anleitung zur Winkelberechnung

Den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnest du am besten Schritt für Schritt. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen

Das Skalarprodukt ist eine Rechenregel, mit der du zwei Vektoren miteinander vergleichen kannst. Du nimmst dafür die entsprechenden Zahlen aus beiden Vektoren, multiplizierst sie miteinander und addierst das Ergebnis.

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \circ \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Am Beispiel sieht das so aus:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 3 + 2 = 5$

➡️Diese Zahl zeigt dir, wie ähnlich sich die Richtungen der beiden Vektoren sind. Ein großer Wert bedeutet: die Vektoren zeigen eher in dieselbe Richtung.

Schritt 2: Längen der Vektoren berechnen

Der Betrag eines Vektors beschreibt, wie groß der Vektor ist — also wie lang der Pfeil ist, den er im Koordinatensystem darstellt. :

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}$

Eingesetzt mit den Werten aus dem Beispiel:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Schritt 3: Werte in die Formel einsetzen

Jetzt kennst du das Skalarprodukt (Zähler) und die Längen (Nenner). Beides setzt du in die Winkel-Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{50}} \approx 0{,}71$

➡️Der Cosinus gibt dir eine Zahl zwischen –1 und 1. Je nachdem, wie ähnlich oder unterschiedlich die Richtungen sind, liegt der Wert näher bei 1 (kleiner Winkel) oder bei –1 (großer Winkel, fast entgegengesetzt).

Schritt 4: Winkel mit dem Taschenrechner berechnen

Jetzt drehst du den Cosinus wieder um. So bekommst du den Winkel in Grad. Das machst du mit der Taste cos⁻¹ auf dem Taschenrechner:

$\theta = \cos^{-1}(0{,}71) \approx 45{,}6^\circ$

➡️Damit weißt du jetzt, dass der Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$ etwa 46° beträgt. Das ist ein spitzer Winkel, die beiden Pfeile gehen also deutlich auseinander, sind aber nicht senkrecht zueinander.

Winkelberechnung: Beispiele

Jetzt, wo du die Rechenschritte kennst, wird’s praktisch. In den nächsten beiden Beispielen zeigen wir dir, wie du den Winkel zwischen zwei Vektoren im zweidimensionalen und im dreidimensionalen Raum berechnest.

2D-Raum

Wir berechnen den Winkel zwischen den Vektoren:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen

$\vec{a} \circ \vec{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$

Das Ergebnis brauchst du später im Zähler der Formel.

Schritt 2: Längen der Vektoren berechnen

$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

Die Beträge kommen in den Nenner.

Schritt 3: Werte in die Formel einsetzen

Setze alles in die Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{5}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} = \frac{5}{\sqrt{221}} \approx 0{,}34$

Schritt 4: Winkel berechnen mit dem Taschenrechner

$\theta = \cos^{-1}(0{,}34) \approx 70{,}1^\circ$

3D-Raum

Gegeben sind die Vektoren:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen
Multipliziere die passenden Komponenten und addiere sie:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 1 \cdot 3 + (-2) \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 + 0 - 4 = -1$

Schritt 2: Beträge der Vektoren berechnen

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 0 + 1} = \sqrt{10}$

Schritt 3: In die Formel einsetzen

Nun setzt du alles in die Winkel-Formel ein:

$\cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{21} \cdot \sqrt{10}} = \frac{-1}{\sqrt{210}} \approx -0{,}07$

Schritt 4: Winkel berechnen
Zum Schluss nutzt du die Umkehrfunktion vom Cosinus im Taschenrechner:

$\theta = \cos^{-1}(-0{,}07) \approx 94{,}0^\circ$

Übungsaufgaben zur Winkelberechnung

Nun bist du dran! Mit den folgenden Aufgaben kannst du dein Wissen direkt testen. Es gibt je zwei Aufgaben im 2D- und im 3D-Raum. Jede Aufgabe lässt sich in vier Schritten lösen: Skalarprodukt, Beträge berechnen, Formel anwenden, Winkel bestimmen. Berechne immer den Winkel zwischen den Vektoren.

Aufgaben im 2D-Raum

Aufgabe 1:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$

$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$

$\cos(\theta) = \frac{11}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{17}} \approx 0{,}74$

$\theta = \cos^{-1}(0{,}74) \approx 42{,}5^\circ$

Aufgabe 2:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \circ \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 5 \cdot (-1) = -8 - 5 = -13$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \approx 4{,}12$

$\cos(\theta) = \frac{-13}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{17}} \approx -0{,}59$

$\theta = \cos^{-1}(-0{,}59) \approx 126{,}3^\circ$

Aufgaben im 3D-Raum

Aufgabe 3:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \circ \vec{b} = (-2) \cdot 4 + 1 \cdot 0 + 5 \cdot (-3) = -8 + 0 - 15 = -23$

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \approx 5{,}48$

$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 0 + 9} = \sqrt{25} = 5$

$\cos(\theta) = \frac{-23}{\sqrt{30} \cdot 5} \approx -0{,}84$

$\theta = \cos^{-1}(-0{,}84) \approx 147{,}9^\circ$

Aufgabe 4:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Lösung:

$\vec{a} \circ \vec{b} = 1 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 0 - 6 + 8 = 2$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \approx 3{,}74$

$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47$

$\cos(\theta) = \frac{2}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{20}} \approx 0{,}12$

$\theta = \cos^{-1}(0{,}12) \approx 82{,}9^\circ$

Winkel zwischen zwei Vektoren — häufigste Fragen

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Vektoren?

Um den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen, verwende die Formel: cos(θ) = (a·b) : (|a|·|b|). Du teilst das Skalarprodukt der Vektoren durch das Produkt ihrer Beträge. Wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren im rechten Winkel zueinander.
Was ist das Skalarprodukt von Vektoren?

Ein Skalarprodukt ist die Multiplikation von zwei Vektoren, wobei das Ergebnis ein Skalar ist. Man schreibt es als a→ • b→. Dieses unterscheidet sich vom Kreuzprodukt, das einen Vektor ergibt.
Wie bestimmt man den Winkel eines resultierenden Vektors?

Bestimme den Winkel eines resultierenden Vektors durch Berechnung von tan^(-1) (y/x). Achte auf das Vorzeichen der x-Komponente: positiv bei direkter Berechnung, negativ erfordert θ ± 180∘.
Was passiert, wenn das Skalarprodukt 0 ist?

Wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren 0 ist, stehen die Vektoren senkrecht zueinander. Solche Vektoren sind orthogonal, was bedeutet, dass ihr Winkel 90° beträgt.

Orthogonal Vektor

Zwei Vektoren können nicht nur einen bestimmten Winkel bilden — sie können auch genau senkrecht zueinander stehen. Wann das der Fall ist und was das mit orthogonalen Vektoren zu tun hat, erfährst du hier!

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