Kommutativgesetz

Was ist das Kommutativgesetz?

Das Kommutativgesetz besagt, dass du beim Plus- oder Malrechnen die Reihenfolge von Zahlen vertauschen kannst. Das Ergebnis ändert sich dadurch nicht.

Es spielt keine Rolle, wie viele Zahlen du multiplizieren oder addieren möchtest. Du darfst alle beliebig vertauschen. Deshalb nennst du das Kommutativgesetz auch Vertauschungsgesetz.

Wichtig: Du darfst das Kommutativgesetz nur dann anwenden, wenn du in deiner Rechnung nur Pluszeichen oder nur Malzeichen siehst. Es ist also nicht erlaubt, wenn du die Zeichen gemischt findest! (→ 2 · 5 + 3).

Warum funktioniert das Kommutativgesetz?

Warum das Kommutativgesetz funktioniert, verstehst du an einem einfachen Beispiel aus dem Alltag.

Stell dir vor, du legst 2 Äpfel in eine Schüssel und dann noch 3 dazu. Das Ergebnis ist dasselbe, wenn du stattdessen zuerst 3 Äpfel hineinlegst und dann 2:

➡️Beispiel
2 + 3 = 5
3 + 2 = 5

Ein weiteres Beispiel: Wenn eine Schokoladentafel 3 Reihen mit jeweils 4 Stückchen hat, sind es insgesamt 12 Stück. Drehst du die Tafel um 90 Grad, hat sie plötzlich 4 Reihen mit jeweils 3 Stückchen — aber es bleiben natürlich dieselben 12 Stück Schokolade.

➡️Beispiel
3 · 4 = 12
4 · 3 = 12

So nutzt du das Kommutativgesetz bei der Addition

Wenn du Zahlen addierst, hilft dir das Kommutativgesetz beim Kopfrechnen. Denn du darfst die einzelnen Zahlen (Summanden) so umordnen, dass du sie leichter zusammenzählen kannst. Dafür suchst du am besten Paare, die zusammen eine runde Zahl ergeben — also eine Zahl wie 10, 20 oder 30.

➡️Beispiel: 6 + 3 + 14
14 und 6 ergibt 20. Also tauschst du:
→ 14 + 6 + 3 = 20 + 3 = 23

Das funktioniert auch, wenn du ganz viele Zahlen addieren musst.

➡️Beispiel: 7 + 18 + 5 + 3 + 12 + 19
Zuerst suchst du Zahlen, die zusammen ein rundes Ergebnis haben. Das sind 7 + 3 = 10 und 18 + 12 = 30. Danach stellst du um:
→ 7 + 3 + 18 + 12 + 5 + 19 =
10 + 30 + 24 =
40 + 24 = 64

So nutzt du das Kommutativgesetz bei der Multiplikation

Auch beim Multiplizieren hilft dir das Kommutativgesetz. Damit kannst du die Zahlen (Faktoren) so umordnen, dass du das Ergebnis leichter ausrechnen kannst. Halte dabei Ausschau nach Zahlenkombinationen, die glatte Zehnerzahlen (wie 10, 20 oder 100) ergeben.

➡️Beispiel: 8 · 2 · 5
5 · 2 ergibt 10. Also tauschst du um:
→ 5 · 2 · 8 = 10 · 8 = 80

Mit größeren Zahlen sieht das dann so aus:

➡️Beispiel: 25 · 9 · 4
4 · 25 ergibt 100. Rechne also:
→ 4 · 25 · 9 = 100 · 9 = 900

Warum kein Kommutativgesetz bei Division und Subtraktion?

Bei der Division und Subtraktion funktioniert das Kommutativgesetz nicht. Änderst du bei der Division die Reihenfolge der Zahlen, kommt nämlich ein anderes Ergebnis raus.

➡️Beispiel
4 : 2 = 2
2 : 4 = 0,5

Wenn du beispielsweise 4 Pizzastücke auf 2 Personen aufteilst, dann bekommt jeder 2. Bei nur 2 Pizzastücken und 4 Personen bekommt allerdings jeder nur ein halbes Stück.

Auch beim Subtrahieren bekommst du bei einem Zahlendreher ein anderes Ergebnis:

➡️Beispiel
6 − 4 = 2
4 − 6 = −2

Wenn du von 6 Pizzastücken vier isst, bleiben 2 übrig. Wenn du allerdings nur 4 Pizzastücke insgesamt hast, dann kannst du gar nicht sechs davon essen. Die Zahl, die herauskommt, ist nämlich negativ.

Gilt das Kommutativgesetz bei negativen Zahlen?

Das Kommutativgesetz gilt auch bei negativen Zahlen. Du musst dabei aber die negativen Zahlen in Klammern setzen. Die Klammer zeigt dann, dass das Minus ein Vorzeichen ist.

➡️Beispiel: −5 + 8 + 15
Du möchtest die 15 nach vorn stellen, damit du leichter rechnen kannst. Dann musst du die −5 mit einer Klammer sichern:
→ 15 + (−5) + 8 = 15 – 5 + 8 = 10 + 8 = 18

Auch bei der Multiplikation arbeitest du mit Klammern.

➡️Beispiel: −2 · 8 · 5
−2 · 5 ergibt −10. Also tauschst du um:
→ 5 · (−2) · 8 = (−10) · 8= −80

Gilt das Kommutativgesetz bei Brüchen?

Bei Brüchen gilt das Kommutativgesetz genauso. Das hilft dir vor allem, wenn du Brüche addieren möchtest. Denn dafür müssen die Nenner gleich sein. Mit dem Kommutativgesetz kannst du Brüche mit dem gleichen Nenner nebeneinander stellen und so leichter zusammenfassen.

➡️Beispiel:
Jeweils zwei Paare haben den gleichen Nenner. Du stellst also um und rechnest dann:

Auch bei der Multiplikation kannst du Faktoren so umordnen, dass du leichter kürzen oder rechnen kannst.

➡️Beispiel:
und passen gut zusammen, weil du dabei Zähler und Nenner kürzen kannst:

Wie nutzt du das Kommutativgesetz bei Variablen?

Das Kommutativgesetz hilft dir nicht nur mit Zahlen. Du kannst es genauso nutzen, wenn eine Rechnung Variablen enthält — also Buchstaben wie a, b oder x.

In Summen kannst du Summanden mit denselben Variablen nebeneinander stellen.

➡️Beispiel: 3a + 8ab + 12ab
Es gibt Summanden mit a und mit ab. Also fasst du sie direkt zusammen:
→ 8ab + 12ab + 3a = 20ab + 3a

In Produkten stellst du die Zahlen ohne Variablen nach vorn und gruppierst danach die Variablen.

➡️Beispiel: 2a · 5ab
Du ordnest zuerst die Zahlen, dann die Variablen:
→ (2 · 5) · (a · a · b) = 10a²b

Übungen zum Kommutativgesetz

Jetzt bist du dran. Hier sind fünf Aufgaben, mit denen du überprüfst, ob du das Kommutativgesetz sicher anwenden kannst.

Aufgabe 1:
17 + 8 + 13 + 22 + 5 = ?
Lösung:
→ (17 + 13) + (8 + 22) + 5 = 30 + 30 + 5 = 65

Aufgabe 2:
12 + (−4) + 8 = ?
Lösung:
→ (12 + 8) + (−4) = 20 + (−4) = 16

Aufgabe 3:
5 · 9 · 2 = ?
Lösung:
→ 5 · 2 · 9 = 10 · 9 = 90

Aufgabe 4:
(−3) · 4 · (−5) = ?
Lösung:
→ (−5) · 4 · (−3) = (−20) · (−3) = 60

Aufgabe 5:
2a · 3ab = ?
Lösung:
→ (2 · 3) · (a · a · b) = 6 · a²b = 6a²b

Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz besagt, dass du bei der Addition und Multiplikation Klammern beliebig setzen darfst.  Kombinierst du das mit dem Kommutativgesetz, hast du den ultimativen Trick zum Kopfrechnen.

➡️Beispiel: (25 · 9) · 4

Anstatt mühsam 25 · 9 zu berechnen und das dann mit 4 zu multiplizieren, tauschst du die Zahlen einfach durch das Kommutativgesetz und setzt die Klammern mit dem Assoziativgesetz neu.

➡️Beispiel: (25 · 4) · 9 

Alles Wichtige zum Assoziativgesetz erfährst du hier!