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Höhe Dreieck berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist die Höhe eines Dreiecks?

Dreieckshöhe mit dem Sinussatz berechnen

Dreieckshöhe über den Flächeninhalt berechnen

Du möchtest wissen, wie du die Höhe eines Dreiecks berechnen kannst? Wir zeigen dir hier und im Video alle Methoden und Formeln!

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Inhaltsübersicht

Was ist die Höhe eines Dreiecks?

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Die Höhe eines Dreiecks ist die kürzeste Verbindung von einem Eckpunkt zur gegenüberliegenden Seite. Da ein Dreieck drei Eckpunkte hat, hat es auch drei Höhen h_a, h_b und h_c. Sie stehen senkrecht auf der jeweiligen Seite.

Ein Bild zeigt die drei Höhen eines Dreiecks. h_a steht senkrecht auf der Seite a und läuft zum Eckpunkt A. h_b steht senkrecht auf der Seite b und läuft zum Eckpunkt B. h_c steht senkrecht auf der Seite c und läuft zum Eckpunkt C. — Höhen eines Dreiecks

💡Tipp: Bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt die Höhe außerhalb des Dreiecks. Du musst die Seite, auf der die Höhe steht, dann mit einer Hilfslinie gedanklich verlängern.

Ein Bild zeigt ein stumpfwinkliges Dreieck. Die Höhen ha und hc liegen außerhalb des Dreiecks. Dafür erweiterst du die Seiten mit einer Hilfslinie erweitern. Die Höhen treffen dann senkrecht auf diese Hilfslinien. — Höhen bei einem stumpfwinkligen Dreieck

Die Höhen eines Dreiecks kannst du auf verschiedene Weisen berechnen. Dabei kommt es darauf an, welche Angaben du kennst und um welche Art von Dreieck es sich handelt.

Dreieckshöhe mit dem Sinussatz berechnen

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Du kannst die Höhe von jedem beliebigen Dreieck über den Sinus bestimmen. Dafür musst du nur eine Seite und einen Winkel kennen.

Du wählst dabei immer eine der zwei Seiten, auf der die Höhe nicht steht. Dann brauchst du den gegenüberliegenden Winkel:

Gesuchte Höhe	Formel (Variante 1)	Formel (Variante 2)
h_a	b · sin(γ)	c · sin(β)
h_b	a · sin(γ)	c · sin(α)
h_c	a · sin(β)	b · sin(α)

Wichtig: Bevor du die Höhe berechnest, musst du deinen Taschenrechner auf Gradmaß eingestellen.

➡️Beispiel: Gegeben sind a = 10 cm, b = 8 cm und γ = 50°. Wie groß ist die Höhe h_a?

1. Passende Formel auswählen:
Du kennst b und γ, also nimmst du h_a =b · sin(γ).

2. Werte einsetzen:
h_a = 8 cm · sin(50°)

3. Ausrechnen:
h_a = 8 cm · 0,766 ≈ 6,13 cm

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Dreieckshöhe über den Flächeninhalt berechnen

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Du kannst die Höhe auch über den Flächeninhalt bestimmen. Welchen Rechenweg du genau wählst, hängt davon ab, welche Angaben du kennst.

Flächeninhalt und eine Seitenlänge gegeben

Wenn du den Flächeninhalt und eine Seitenlänge g kennst, kannst du auch die entsprechende Höhe berechnen. Dafür musst du die Flächenformel nach h_g umstellen:

$h_g = \frac{2A}{g}$

➡️Beispiel: Der Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Grundseite g = 5 cm beträgt 30 cm². Wie groß ist die Höhe h_g?

$h_g = \frac{2 \cdot 30 cm^2}{5 cm} = \frac{60 cm^2}{5 cm} = 12 cm$

Drei Seitenlängen gegeben

Sind nur die drei Seiten a, b und c gegeben und du möchtest die Höhe bestimmen, gehst du in drei Schritten vor:

Schritt 1 — Halbumfang u_h berechnen
$u_h = \frac{a + b + c}{2}$

Schritt 2 — Flächeninhalt A berechnen
$A = \sqrt{s \cdot (u_h - a) \cdot (u_h - b) \cdot (u_h - c)}$

Schritt 3 — Höhe berechnen
Setze A in die nach h umgestellte Flächenformel ein.
$h = \frac{2A}{g}$

➡️Beispiel: Gegeben sind a = 5 cm, b = 6 cm und c = 7 cm. Wie groß ist die Höhe h_b?

1. Halbumfang u_hberechnen:

$u_h = \frac{5 cm + 6 cm + 7 cm}{2} = 9 cm$

2. Flächeninhalt berechnen:

$A = \sqrt{9 cm \cdot (9 cm - 5 cm) \cdot (9 cm - 6 cm) \cdot (9 cm - 7 cm)}$
$= \sqrt{9 cm \cdot 4 cm \cdot 3 cm \cdot 2 cm}$
$= \sqrt{216 cm^2} \approx 14,70 cm^2$

3. Höhe h_b berechnen:

$h_b = \frac{2 \cdot 14,70 cm^2}{6 cm} = \frac{29,40 cm^2}{6 cm} \approx 4,90 cm$

Zwei Seitenlängen und der eingeschlossene Winkel gegeben

Wenn dir aber zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, musst du zuerst den Flächeninhalt berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

Danach benutzt du wieder die nach h umgestellte Flächenformel, um h_a oder h_b zu bestimmen:

$h = \frac{2A}{g}$

➡️Beispiel: Gegeben sind a = 7 cm, b = 9 cm und γ = 40°. Wie groß ist h_c?

1. Flächeninhalt berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot 7 cm \cdot 9 cm \cdot \sin(40°) = \frac{1}{2} \cdot 63 cm^2 \cdot 0,643 \approx 20,25 cm^2$

2. Kosinussatz: Da du hier h_c suchst, c aber nicht bekannt ist, musst du die fehlende Grundseite erst mit dem Kosinussatz berechnen:

$c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\gamma)}$
$= \sqrt{49 cm^2 + 81 cm^2 - 2 \cdot 7 cm \cdot 9 cm \cdot \cos(40°)}$
$= \sqrt{130 cm^2 - 126 cm^2 \cdot 0,766}$
$= \sqrt{33,48 cm^2} \approx 5,79 cm$

3. Höhe h_c berechnen:

$h_c = \frac{2 \cdot 20,25 cm^2}{5,79 cm} \approx \frac{40,50 cm^2}{5,79 cm} \approx 6,99 cm$

Dreieckshöhe bei besonderen Dreiecken berechnen

Rechtwinklige, gleichseitige und gleichschenklige Dreiecke haben besondere Eigenschaften. Deswegen ist die Berechnung der Höhen hier oft etwas einfacher.

Höhe im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Im rechtwinkligen Dreieck stehen die zwei Katheten a und b senkrecht aufeinander. Deswegen sind sie gleichzeitig die Höhen zueinander. Es gilt:

a = h_b
b = h_a

Ein Bild zeigt ein rechtwinkliges Dreieck. Die Katheten a und b sind gleichzeitig die Höhen zur jeweils anderen Seite. Die Höhe auf c musst du aber erst bestimmen. — Höhen in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Höhe h_c kannst du aber nicht so einfach ablesen — du musst sie erst bestimmen. Das kannst du entweder über den Flächeninhalt oder die Sinus-Formel machen:

Weg 1 — Flächeninhalt

Für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks gilt:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Das kannst du jetzt nach h_c umstellen:

$h_c = \frac{a \cdot b}{c}$

➡️Beispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 6 cm und b = 8 cm. Wie groß ist h_c?

1. Da du die Länge der Hypothenuse c noch nicht kennst, musst du sie erst mit dem Satz des Pythagoras berechnen:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 cm^2 + 64 cm^2} = \sqrt{100 cm^2} = 10 cm$

2. Setze die Seitenlängen in die umgestellte Formel ein:

$h_c = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{6 cm \cdot 8 cm}{10 cm} = \frac{48 cm^2}{10 cm} = 4,8 cm$

Weg 2 — Sinus-Formel

Für die Sinus-Formel nimmst du die Werte, die dir aus der Aufgabe bekannt sind und setzt sie einfach ein.

h_c = a · sin(β) = b · sin(α)

➡️Beispiel: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 9 cm und den anschließenden Winkel β = 45°. Wie groß ist h_c?

h_c = a · sin(β) = 9 cm · 0,707 ≈ 6,36 cm

Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen

Das gleichseitige Dreieck hat drei gleichlange Seiten und alle Winkel betragen 60°. Deswegen sind auch alle drei Höhen gleich groß.

Ein Bild zeigt ein gleichseitiges Dreieck. Die Höhen sind alle gleich lang und kreuzen sich in der Mitte des Dreiecks. — Höhen in einem gleichseitigen Dreieck

Um die Höhe zu bestimmen, nutzt du einfach diese Formel:

$h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$

➡️Beispiel: Ein gleichseitiges Dreieck hat die Seitenlänge a = 8 cm. Gesucht ist die Höhe h. Wie groß ist h?

$h = \frac{8 cm \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{8 cm \cdot 1,732}{2} = \frac{13,856}{2} \approx 6,93 cm$

Höhe im gleichschenkligen Dreieck berechnen

Im gleichschenkligen Dreieck sind nur zwei Seiten gleich lang.

Ein Bild zeigt ein gleichschenkliges Dreieck. Die Seiten a und b sind gleich lang. Auf der Seite c ist die Höhe hc eingezeichnet. — Gleichschenkliges Dreieck

Wenn du die Länge der Schenkel a und b und der anderen Seite c kennst, kannst du die Höhe h_c mit dieser Formel berechnen:

$h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4a^2 - c^2}$

➡️Beispiel: Ein gleichschenkliges Dreieck hat die Seitenlänge a = b = 7 cm und c = 5 cm. Wie groß ist h_c?

$h_c = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot (7 cm)^2 - (5 cm)^2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{4 \cdot 49 cm^2 - 25 cm^2}$
$= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{171 cm^2} \approx 6,54$

Übrigens: Die Höhen h_a und h_b kannst du entweder über den Sinussatz oder den Flächeninhalt bestimmen.

Dreiecke verstehen

Die Höhe im Dreieck ist eng mit Seiten, Winkeln und Flächen verbunden. Wer sich mit Dreiecken beschäftigt merkt, wie rechtwinklige, gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke aufgebaut sind und wie ihre Größen zusammenhängen. Im Mathematikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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