3. binomische Formel
Die 3. binomische Formel hilft dir dabei, zwei Klammern zu vereinfachen. Wie du dabei genau vorgehst und typische Fehler vermeidest, zeigen wir dir Schritt für Schritt hier!
Inhaltsübersicht
Die 3. binomische Formel einfach erklärt
Die 3. binomische Formel hilft dir, zwei fast gleiche Klammern zu multiplizieren — eine mit Plus, eine mit Minus.
(a + b) · (a − b) = a² − b²
Du hast zum Beispiel folgende Rechnung:
(x + 3) · (x − 3)
Statt alles auszumultiplizieren, kannst du direkt die 3. binomische Formel anwenden:
(x + 3) · (x − 3) = x² − 9
Das Ergebnis ist also die erste Zahl zum Quadrat minus die zweite zum Quadrat. Für unser Beispiel sieht das dann so aus: x² bleibt so stehen und 3² ergibt 9 — also x² − 9.
Merke dir: Die 3. binomische Formel gilt nur, wenn in den Klammern die gleichen Zahlen oder Variablen stehen — aber mit unterschiedlichen Vorzeichen (einmal +, einmal −). Wenn beide Vorzeichen gleich sind, brauchst du eine der anderen binomischen Formeln.
Herleitung der 3. binomischen Formel
Um zu verstehen, warum die 3. binomische Formel funktioniert, lohnt sich ein Blick auf den Rechenweg und die Geometrie dahinter. Schauen wir uns das im Detail an.
Rechnerische Herleitung
Du kannst die beiden Klammern nämlich einfach Schritt für Schritt ausmultiplizieren. Nimm zum Beispiel die Rechnung (x + 5) · (x − 5).
Nun multiplizierst du jede Zahl oder Variable aus der ersten Klammer mit jedem Teil der zweiten Klammer:
x · x = x²
x · (−5) = −5x
5 · x = 5x
5 · (−5) = −25
Jetzt schreibst du alles zusammen:
x² − 5x + 5x − 25
Die beiden −5x und +5x heben sich gegenseitig auf. Du kannst sie also weglassen.
Übrig bleibt: x² − 25
Genau das ist das Ergebnis, das dir die 3. binomische Formel direkt liefert:
(x + 5) · (x − 5) = x² − 25
Geometrische Herleitung
Die 3. binomische Formel kannst du nicht nur rechnerisch verstehen — sie lässt sich auch geometrisch herleiten.
Stell dir dazu ein großes Quadrat mit der Seitenlänge a vor. Daraus wird ein kleineres Quadrat mit der Seitenlänge b herausgeschnitten. Übrig bleibt eine Fläche, die genau die Größe a² − b² hat.
Jetzt setzt du dieselbe Fläche anders zusammen: Du schneidest das Quadrat entlang der Diagonalen und ordnest die Teile so an, dass ein Rechteck entsteht. Dieses Rechteck hat die Seitenlängen (a + b) und (a − b) — also genau die beiden Klammern aus der Klammerrechnung.
Damit ist klar: Die Fläche des Rechtecks ist genauso groß wie die Fläche des übrig gebliebenen Teils im ersten Bild. Und da sich der Flächeninhalt nicht verändert hat, gilt:
(a + b) · (a − b) = a² − b²
Rechnen mit der 3. binomischen Formel
Die 3. binomische Formel hilft dir nicht nur bei Klammerausdrücken. Du kannst sie auch nutzen, um schwierige Malrechnungen einfacher zu lösen. Besonders praktisch ist das, wenn die zwei Zahlen gleich weit von einer Zahl, die zwischen beiden liegt, entfernt sind.
Ein Beispiel:
38 · 42
Beide Zahlen liegen gleich weit von der 40 entfernt — einmal 2 weniger, einmal 2 mehr. Du kannst die Aufgabe also so umschreiben:
(40 − 2) · (40 + 2)
Jetzt setzt du die 3. binomische Formel ein:
(a − b) · (a + b) = a² − b²
→ 40² − 2² = 1600 − 4 = 1596
So kannst du auch ohne Taschenrechner schnell zum Ergebnis kommen. Am einfachsten ist es, wenn diese mittlere Zahl eine „runde“ Zahl ist, wie 10, 20 oder 100.
Übungsaufgaben zur 3. binomischen Formel
Schauen wir uns jetzt an, wie du typische Aufgaben erkennst, bei denen dir die 3. binomische Formel weiterhilft.
Überlege dir zuerst: Was könnte hier a und was b sein? Kannst du die Formel direkt anwenden — oder musst du den Ausdruck vorher noch passend umformen?
a) (x + 3) · (x − 3)
b) (2y + 5) · (2y − 5)
c) (−a + 6) · (a + 6)
d) (4m − 1) · (4m + 1)
e) 81 − 49z²
f) 100x² − 36
Lösungen
Hier findest du die Lösungen zu den Aufgaben — inklusive kurzer Erklärung, wie du jeweils auf das Ergebnis kommst.
a) (x + 3) · (x − 3)
→ Die Klammern sind direkt im richtigen Format: gleiches a, entgegengesetzte Vorzeichen.
Lösung: x² − 9
b) (2y + 5) · (2y − 5)
→ Auch hier kannst du die 3. binomische Formel direkt anwenden.
Lösung: 4y² − 25
c) (−a + 6) · (a + 6)
→ Die Reihenfolge in der ersten Klammer ist verdreht. Wenn du sie umstellst zu (6 − a), passt sie zur Formel. Damit du die dritte binomische Formel anwenden kannst, musst du die zweite Klammer auch umdrehen zu (6 + a).
Lösung: 36 − a²
d) (4m − 1) · (4m + 1)
→ Die Klammern sind direkt passend aufgebaut.
Lösung: 16m² − 1
e) 81 − 49z²
→ Das ist die rechte Seite der Formel. Du kannst den Ausdruck faktorisieren: 81 = 9², 49z² = (7z)²
Lösung: (9 + 7z) · (9 − 7z)
f) 100x² − 36
→ Auch hier liegt die rechte Seite der Formel vor. 100x² = (10x)², 36 = 6²
Lösung: (10x + 6) · (10x − 6)
3. binomische Formel — häufigste Fragen
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Was ist die 3. binomische Formel und wofür wird sie verwendet?^ Die 3. binomische Formel ist (a – b)(a + b) = a² – b². Sie wird verwendet, um Rechnungen mit Klammern zu vereinfachen.
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Was sind die drei binomischen Formeln? Die drei binomischen Formeln sind: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², und (a + b)(a − b) = a² − b².
Binomische Formeln
Die 3. binomische Formel ist nur eine von drei. Wie du auch die anderen beiden binomischen Formeln erkennst und anwendest, zeigen wir dir hier im Beitrag zu den binomischen Formeln.
