Dezimalzahl in Bruch

Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln — so geht’s!

Die meisten Dezimalzahlen lassen sich in einen Bruch umwandeln — aber nicht alle! Entscheidend ist, ob die Zahl rational ist. Rationale Zahlen erkennst du daran, dass ihre Nachkommastellen entweder enden (0,4) oder sich in einem Muster wiederholen (1,33333…).

Du unterscheidest dabei drei Typen:

1. Endliche Dezimalzahlen, wie 1,25 oder 0,5
2. Periodische Dezimalzahlen, wie 0,333… oder 2,7272…
3. Gemischtperiodische Dezimalzahlen, wie 0,12343434…

Jede dieser Typen kannst du in einen Bruch umwandeln. 

Wichtig: Nicht alle Dezimalzahlen sind rational. Manche Zahlen wie π (Pi) oder √2 haben unendlich viele Nachkommastellen ohne ein sich wiederholendes Muster. Solche Zahlen sind irrational. Die kannst du nicht als Bruch schreiben.

Endliche Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Endliche Dezimalzahlen haben eine feste Anzahl an Nachkommastellen. Ein Beispiel dafür ist 3,6 oder 12,075. Solche Zahlen lassen sich einfach in einen Bruch umrechnen — und du brauchst dafür nur ein paar Schritte:

Beispiel 1

Schauen wir uns jetzt Schritt für Schritt an, wie du eine endliche Dezimalzahl wie 4,75 in einen Bruch umwandeln kannst.

1. Zahl ohne Komma aufschreiben
   4,75 hat zwei Nachkommastellen. Ohne Komma ergibt das 475. Diese Zahl kommt in den Zähler.

      

2. Nenner mit einer 1 beginnen
   Schreibe eine 1 in den Nenner.

      

3. Für jede Nachkommastelle eine Null anhängen
   Da 4,75 zwei Nachkommastellen hat, kommen zwei Nullen dazu. Aus der 1 wird also eine 100. Der Bruch lautet jetzt:
   

      

4. Bruch kürzen
   Beide Zahlen sind durch 25 teilbar. Daher kannst du den Bruch noch kürzen:
   475 ÷ 25 = 19
   100 ÷ 25 = 4
   → Endergebnis:

Beispiel 2

Schauen wir uns nun ein etwas komplizierteres Beispiel an: Wie schreibst du 15,083 als Bruch?

1. Zahl ohne Komma aufschreiben
   15,083 wird ohne Kommas zu 15083. Das ist dein Zähler.

      

2. Nenner mit einer 1 beginnen
   Schreibe eine 1 in den Nenner.

      

3. Drei Nachkommastellen → drei Nullen anhängen
   Die 1 wird zu 1000, weil die Zahl drei Stellen nach dem Komma hat: 
   

      

4. Bruch kürzen, wenn möglich
   In diesem Fall lässt sich der Bruch nicht weiter kürzen, da 15083 und 1000 keine gemeinsamen Teiler außer 1 haben.
   → Endergebnis:

Tipp: Ob sich ein Bruch kürzen lässt, kannst du mit den Teilbarkeitsregeln schnell prüfen. 1000 endet auf null, ist also durch 2 und 5 teilbar. 15083 endet auf 3 — damit fällt beides weg. Du kannst den Bruch deshalb nicht weiter kürzen.

Periodische Dezimalzahlen in Brüche umwandeln

Bei periodischen Dezimalzahlen wiederholen sich bestimmte Ziffern nach dem Komma immer wieder. Zum Beispiel bei 0,666… oder 2,181818…. Diese Wiederholung nennst du Periode. Auch solche Zahlen kannst du in einen Bruch umrechnen:

Beispiel 1

Schauen wir uns das direkt am Beispiel von 2,777… an:

1. Zahl vor und nach dem Komma trennen
   Die Zahl vor dem Komma ist 2, die Periode ist 7. Die trennst du voneinander:

      

2. Periode in den Zähler schreiben
   

      

3. Für jede Ziffer unter dem Periodenstrich eine 9 in den Nenner
   Es wiederholt sich nur die 7. Das heißt, es steht nur eine Zahl unter dem Periodenstrich. Daher kommt nur eine 9 in den Nenner. Damit ergibt sich der Bruch: 

      

4. Zahl vor dem Komma wieder hinzufügen
   Jetzt rechnest du den Bruch wieder mit der 2 vor dem Komma zusammen:

      

Beispiel 2

Weiter geht’s mit dem Beispiel 0,6363… . Hier hat die Zahl keine Vorkommastelle und die Periode besteht aus zwei Ziffern.

1. Periode von der Zahl vor dem Komma trennen
   Du erhältst 0 und
    
2. Periode in den Zähler schreiben

      

3. Für jede Stelle der Periode eine 9 in den Nenner schreiben
   Da die Periode aus zwei Zahlen besteht, schreibst du 99 in den Nenner:

      

4. Zahl vor dem Komma hinzurechnen
   Es gibt keine ganze Zahl vor dem Komma, also musst du nichts dazuzählen.
    
5. Bruch kürzen
   Sowohl 63 als auch 99 sind durch 9 teilbar:
   63 ÷ 9 = 7
   99 ÷ 9 = 11
   → Endergebnis:

Gemischtperiodische Zahlen

Gemischtperiodische Dezimalzahlen sind eine Mischung aus endlichen und periodischen Dezimalzahlen. Nach dem Komma kommt erst ein normaler, endlicher Teil und danach beginnt eine Periode, die sich wiederholt.

Um solche Zahlen in einen Bruch umzuwandeln, gehst du so vor:

Beispiel 1

Du möchtest die gemischtperiodische Zahl 2,41666… in einen Bruch umwandeln. Das geht so:

1. Multipliziere die Zahl so oft mit 10, bis nach dem Komma nur noch die Periode steht
   2,41666… • 10 = 24,1666…
   2,41666… • 10 = 241,666…
    
2. Trenne die Zahl vor dem Komma von der Periode
   Du erhältst 214 und
    
3. Wandle die ganze Zahl in einen Bruch um
   Setze dafür eine 1 in den Nenner:

      

4. Wandle die Periode in einen Bruch um
   Für jede Stelle in der Periode schreibst du eine 9 in den Nenner. Da sie nur aus einer Zahl besteht, schreibst du nur 9 in den Nenner:

      

   Dieser Bruch lässt sich noch mit 3 kürzen:
   → 6 ÷ 3 = 2
   → 9 ÷ 3 = 3
   =
    

5. Addiere die Brüche
   Den ersten Bruch musst du erweitern, damit beide den Nenner 3 haben.

      

      

6. Bruch so oft durch 10 teilen, wie im 1. Schritt multipliziert wurde
   Du teilst den Bruch durch 100, weil du in Schritt 1 zweimal mit 10 multipliziert hast. Aber Achtung: Bei Brüchen heißt das, dass du mal den Kehrwert rechnest.

      

7. Kürze den Bruch
   725 und 300 sind beide durch 25 teilbar:
   → 725 ÷ 25 = 29
   → 300 ÷ 25 = 12
   → Endergebnis:

Beispiel 2

Schauen wir uns zu guter Letzt das Beispiel 0,134545… an:

1. Multipliziere die Zahl so oft mit 10, bis hinter dem Komma nur noch die Periode steht
   0,134545… • 10 = 1,34545…
   1,34545… • 10 = 13,4545…
    
2. Trenne die Zahl vor dem Komma von der Periode
   Die ganze Zahl vor dem Komma ist 13.
   Die Periode ist
    
3. Schreibe die ganze Zahl als Bruch

      

4. Wandle die Periode in einen Bruch um
   Die Periode besteht aus zwei Ziffern. Also brauchst du zwei Neunen im Nenner.

      

5. Addiere die Brüche
   Erweitere zuerst auf den Nenner 99:

      

      

6. Jetzt musst du noch durch 100 teilen, weil du in Schritt 1 zweimal mit 10 multipliziert hast
   

      

7. Bruch kürzen
   Teile Zähler und Nenner durch 3:
   → 1332 ÷ 3 = 444
   → 9900 ÷ 3 = 3300
   Noch einmal kürzen mit 4:
   → 444 ÷ 4 = 111
   → 3300 ÷ 4 = 825
   → Endergebnis:

Wichtige Dezimalzahlen als Brüche

Manche Dezimalzahlen begegnen dir in Aufgaben immer wieder. Wenn du ihre Schreibweise als Bruch auswendig kennst, sparst du dir viel Zeit.

Die häufigsten Dezimalzahlen und ihren Bruch findest du hier:

Endliche Dezimalzahlen:

Periodische Dezimalzahlen:

Dezimalzahl	Bruch
	1/3
	2/3
	1/9
	2/9
	1/6

Bruch in Dezimalzahl

Perfekt! Jetzt kannst du rationale Zahlen in Brüche umwandeln! Aber was ist, wenn du einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln willst? Das zeigen wir dir hier!