Was ist der Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit?

Der „Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit“ ist ein anderer Name für den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und beschreibt, wie man über zwei Fälle und berechnet. Man zerlegt in „ mit “ und „ mit “ und addiert die Teilwahrscheinlichkeiten.

Wie lautet der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes lautet (für ). Er rechnet eine bedingte Wahrscheinlichkeit „andersherum“ um, also von „ gegeben “ zu „ gegeben “, mithilfe der Ausgangswahrscheinlichkeiten.

Wann benutzt man den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in einer Aufgabe?

Den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit benutzt man, wenn man sucht, aber die Informationen zu nur getrennt nach Fällen vorliegen, zum Beispiel „ unter der Bedingung “ und „ unter der Bedingung “. Dann wird aus diesen Fällen zusammengesetzt.

Wie erkennt man im Baumdiagramm, welche Pfade man für das gesuchte Ereignis addieren muss?

Im Baumdiagramm addiert man genau die Pfade, deren Ergebnisbeschreibung zum gesuchten Ereignis passt. Dazu übersetzt man das Ereignis in konkrete Abfolgen wie „zuerst blau, dann rot“ oder „zuerst rot, dann blau“ und markiert alle passenden Endzweige. Jeder markierte Pfad wird als Produkt berechnet und dann addiert.

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Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

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Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

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Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel

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Dieser Artikel befasst sich mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und veranschaulicht diesen anhand eines einfachen Beispiels!

Total einfach kannst du dir das Leben machen, indem du dir alles kurzerhand in unserem Video zum Thema erklären lässt!

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Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

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Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A berechnen, wenn man nur die bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeit abhängig von einem zweiten Ereignis B gegeben hat. Manchmal ist auch vom so genannten Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit die Rede.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Formel

Es geht also darum, die gesamte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A zu berechnen. Mathematisch wird das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit meistens so aufgeschrieben:

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(B)\ast P(A|B)+P(\bar{B})\ast P(A|\bar{B})$

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Beziehung zum Satz von Bayes

Außerdem begegnet in der Stochastik einem in der Verbindung mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit oft der so genannte Satz von Bayes . Mithilfe der Bayes Formel kann die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse bestimmt werden, welche im Anschluss zur Berechnung der totalen Wahrscheinlichkeit herangezogen wird.

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel

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Anhand eines Beispiels wird das ganze gleich viel verständlicher. Stell dir vor, in einer Urne befinden sich 3 rote und 7 blaue Kugeln. Jetzt ziehst du zwei Kugeln ohne Zurücklegen aus der Urne heraus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln blau ist?

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Beispiel

Am besten veranschaulichen wir uns das Zufallsexperiment anhand eines Baumdiagramms . Wenn du dir damit noch unsicher bist, schau dir am besten unser passendes Video dazu an.

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Wahrscheinlichkeit berechnen

Nun können wir mit Hilfe des Baumdiagramms ganz einfach die Werte in unsere Formel eintragen und erhalten:

P(„genau einmal blau“)= $P(blau)*\ P(rot|blau)+P(rot)*P(blau|rot) = \frac{7}{10}\ast\frac{3}{9}+\frac{3}{10}\ast\frac{7}{9}=\frac{42}{90}=46,6%$

Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten

Zusammenfassend besagt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit also, dass du die verschiedenen Pfadwahrscheinlichkeiten, die zu diesem Ergebnis führen, addieren musst. So erhältst du die Gesamtwahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Die Berechnung erfolgt ganz einfach mit Hilfe der zweiten Pfadregel, welche auch Summenregel genannt wird.

So, das wars auch schon! Zum Abschluss findest du hier nochmal die allgemeine Formel:

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap\bar{B})=P(B)\ast P(A|B)+P(\bar{B})\ast P(A|\bar{B})$

Satz der totalen Wahrscheinlichkeit — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit?

Der „Satz der vollständigen Wahrscheinlichkeit“ ist ein anderer Name für den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit und beschreibt, wie man über zwei Fälle und $\bar B$ berechnet. Man zerlegt in „ mit “ und „ mit $\bar B$ “ und addiert die Teilwahrscheinlichkeiten.
Wie lautet der Satz von Bayes?

Der Satz von Bayes lautet $P(A \mid B)=\frac{P(B \mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$ (für ). Er rechnet eine bedingte Wahrscheinlichkeit „andersherum“ um, also von „ gegeben “ zu „ gegeben “, mithilfe der Ausgangswahrscheinlichkeiten.
Wann benutzt man den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit in einer Aufgabe?

Den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit benutzt man, wenn man sucht, aber die Informationen zu nur getrennt nach Fällen vorliegen, zum Beispiel „ unter der Bedingung “ und „ unter der Bedingung $\bar B$ “. Dann wird aus diesen Fällen zusammengesetzt.
Wie erkennt man im Baumdiagramm, welche Pfade man für das gesuchte Ereignis addieren muss?

Im Baumdiagramm addiert man genau die Pfade, deren Ergebnisbeschreibung zum gesuchten Ereignis passt. Dazu übersetzt man das Ereignis in konkrete Abfolgen wie „zuerst blau, dann rot“ oder „zuerst rot, dann blau“ und markiert alle passenden Endzweige. Jeder markierte Pfad wird als Produkt berechnet und dann addiert.

Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ist eine wichtige Regel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und gehört zur Stochastik in der Oberstufe. Wer sich mit Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt, zerlegt Aufgaben in klare Fälle und rechnet die passenden Pfadwahrscheinlichkeiten mit einem Baumdiagramm aus. Wenn du die Fälle sauber trennst, erkennst du schneller, welche Wahrscheinlichkeiten du multiplizierst und welche du am Ende addierst. Im Statistikbereich findest du passende Videos zu diesem und verwandten Themen.

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