Der Begriff Zufallsgröße ist ein wichtiger Bestandteil der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie. Was eine Zufallsgröße ist und welche Arten es gibt, erfährst du hier im Beitrag und im Video !
Zufallsgröße Definition
Eine Zufallsgröße, oder auch Zufallsvariable, ist eine Funktion X. Sie ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu:
X: Ω → 
Zum Beispiel kann ein Würfelwurf die Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 haben. Die Zufallsvariable X ordnet dann jedem Wurf die gewürfelte Augenzahl zu.
Gut zu wissen: Da Zufallsgrößen reelle Zahlen sind, kannst du für sie Kennzahlen wie den Erwartungswert , die Standardabweichung und die Varianz berechnen.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden im Ergebnisraum Ω zusammengefasst. Die Zufallsgröße kennzeichnest du mit Großbuchstaben (X). Die einzelnen Werte der Zufallsgröße gibst du hingegen mit Kleinbuchstaben (k) an.
Du unterscheidest zwischen zwei Arten von Zufallsgrößen: diskrete und stetige Zufallsgrößen.
Diskrete Zufallsgrößen
Eine diskrete Zufallsgröße kann nur endlich (zählbar) viele Werte annehmen. Beispiele für Experimente mit diskreten Zufallsgrößen sind: Die Augenzahl bei einem Würfelwurf oder die Anzahl der Besucher im Fitnessstudio an einem Tag.
Jeder Wert k, den die Zufallsgröße X annehmen kann, tritt dabei mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit p auf.
Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein einzelner Wert eintritt, gibst du so an:
P (X = k) = p
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Beispiel doppelter Münzwurf
Wirfst du zum Beispiel eine Münze zweimal, hast du vier verschiedene Möglichkeiten an Kopf-Zahl-Kombinationen:
Ω = {(K; Z), (Z; K), (K; K), (Z; Z)}
Die Zufallsgröße X soll angeben, wie oft du bei einem doppelten Münzwurf Kopf erhältst. Sie ordnet also jedem möglichen Ergebnis die Anzahl der Kopf-Würfe zu:
- Bei den Ergebnissen (K; Z) und (Z; K) kommt „Kopf“ ein Mal vor. Das heißt, X ordnet diesen Ergebnissen den Wert „1“ zu: X = 1.
- Bei dem Ergebnis (K; K) kommt „Kopf“ zweimal vor, sodass diesem Ergebnis der Wert „2“ zugeordnet wird: X = 2.
- Da beim letzten möglichen Ergebnis (Z; Z) kein „Kopf“ vorkommt, erhält dieses den Wert „0“: X = 0.
Die Wahrscheinlichkeiten für jeden Wert gibst du so an:
P (X = 1) = ½
P (X = 2) = ¼
P (X = 0) = ¼
Tipp: Die Werte, die eine Zufallsgröße annehmen kann, bezeichnest du auch als Ausprägungen.
Stetige Zufallsgrößen
Eine stetige Zufallsgröße kann beliebig viele Werte innerhalb eines Intervalls annehmen. Das heißt, sie hat keine Lücken. Dazu zählen Zufallsexperimente zu dem Gewicht von Personen oder der Verspätung der Bahn.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße einen bestimmten von unendlich vielen Werten annimmt, schrumpft daher auf null.
Deshalb sind hier nur Aussagen darüber möglich, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsgröße X größer bzw. kleiner als ein Wert ist oder zwischen zwei Werten liegt.
Die Wahrscheinlichkeit p für die verschiedenen Möglichkeiten schreibst du so:
- X größer gleich k: P (X ≥ k) = p
- X kleiner gleich k: P (X ≤ k) = p
- X zwischen zwei Werten k1 und k2: P (k1 ≤ X ≤ k2) = p
Beispiel Körpergewicht
Du befragst zehn Leute auf der Straße nach ihrem Körpergewicht. Die Zufallsgröße X, die das Körpergewicht angibt, kann dabei jeden beliebigen Wert zwischen 0 und ∞ annehmen:
Ω = [0; ∞)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % liegen die genannten Werte zwischen 70 kg und 100 kg:
P (70 ≤ X ≤ 100) = 0,9
Gibst du für jeden Wert xi einer diskreten oder stetigen Zufallsgröße X, die Wahrscheinlichkeit P(X = xi) an, entsteht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auch hier unterscheidest du zwischen diskreten und stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Ein Beispiel für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Binomialverteilung . Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist z. B. die Normalverteilung .
Stetige Zufallsgrößen in diskrete Zufallsgrößen umwandeln
Du kannst stetige Zufallsgrößen, aber auch in diskrete Zufallsgrößen umwandeln. Dafür bildest du Intervalle und weist jedem Intervall eine Zahl zu.
Auch für die Temperatur hast du eine stetige Zufallsgröße. Deshalb kann die Zufallsvariable X wieder jeden Wert zwischen 0 und ∞ annehmen. Um die diskrete Zufallsgröße jetzt in eine stetige umzuwandeln, bildest du Intervalle für die Temperatur:
![\[ X(x)=\left\{\begin{array}{11} 1, & 0 \le x < 10 \\ 2, & 10 \le x < 20 \\ 3, & 20 \le x < 30 \\ 4, & 30 \le x < 40 \\ 5, & x \ge 40\end{array}\right\]](https://blog.assets.studyflix.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8eee5d92c67debee2f3b2844ba1cfd10_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Stochastik
Super! Jetzt weißt du, welche Arten von Zufallsgrößen es gibt und wie du sie unterscheidest. Der Begriff Zufallsgröße stammt aus der Stochastik. Was noch alles zur Stochastik gehört, erfährst du in unserem Video !
Zufallsgröße — häufigste Fragen
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Zufallsgröße — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Was bedeutet es, dass eine Zufallsgröße eine Funktion ist?Eine Zufallsgröße ist eine Funktion, weil sie jedem Ergebnis im Ergebnisraum
genau eine reelle Zahl zuordnet. Beim Würfeln ist ein Ergebnis zum Beispiel „Augenzahl 5“, und die Zufallsgröße 
ordnet diesem Ergebnis den Zahlenwert 5 zu.
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Was ist der Unterschied zwischen einem Ergebnis im Ergebnisraum und dem Wert der Zufallsgröße?Ein Ergebnis im Ergebnisraum beschreibt den konkreten Ausgang des Zufallsexperiments, der Wert der Zufallsgröße ist die Zahl, die diesem Ausgang zugeordnet wird. Beim zweimaligen Münzwurf ist
ein Ergebnis, und die Zufallsgröße „Anzahl Köpfe“ hat dazu den Wert 1.
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Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen?Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist die Zuordnung „möglicher Wert der Zufallsgröße → Wahrscheinlichkeit“. Bei einer diskreten Zufallsgröße schreibt man für jeden möglichen Wert
die Wahrscheinlichkeit 
. Bei einer stetigen Zufallsgröße gibt man Wahrscheinlichkeiten für Intervalle an, zum Beispiel 
.
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Warum ist bei stetigen Zufallsgrößen die Wahrscheinlichkeit für genau einen bestimmten Wert immer null?Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen exakten Wert null, weil zwischen zwei Zahlen immer noch unendlich viele weitere mögliche Werte liegen. Eine von 0 verschiedene Wahrscheinlichkeit ergibt sich deshalb erst, wenn man einen ganzen Wertebereich betrachtet, zum Beispiel „zwischen
und 
“.
Stochastik verstehen
Zufallsgrößen gehören zur Stochastik und helfen dir, Zufall in Zahlen zu fassen. Wer sich mit Stochastik beschäftigt, beschreibt Zufallsexperimente mit klaren Ereignissen und passenden Wahrscheinlichkeiten. So erkennst du, wie aus vielen möglichen Ergebnissen eine Verteilung entsteht und wie man Aussagen über Chancen richtig einordnet. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.