Was ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit?

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man alle möglichen, sich gegenseitig ausschließenden Fälle berücksichtigt, in denen es eintreten kann. Formal gilt . Beim Testbeispiel wäre .

Was ist der Unterschied zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit wie beschreibt, wie wahrscheinlich ist, wenn bereits eingetreten ist. Der Satz von Bayes ist eine Rechenregel, mit der man aus der „umgekehrten“ Wahrscheinlichkeit und den Grundwahrscheinlichkeiten und bestimmt.

Wie entscheidet man bei einer Bayes-Aufgabe, welches Ereignis A und welches Ereignis B ist?

Bei Bayes-Aufgaben legt man als das Ereignis fest, dessen Wahrscheinlichkeit nach dem Beobachten gesucht ist, und als die beobachtete Information, auf die man „bedingt“. Dann prüft man, welche gegebenen Angaben zu und zu passen, damit am Ende tatsächlich gefragt ist.

Warum kann ein Test mit hoher Trefferquote bei positivem Ergebnis trotzdem oft falsch liegen?

Ein Test kann trotz hoher Trefferquote bei Erkrankten oft falsch liegen, weil ein positives Ergebnis nicht , sondern meist beschreibt und außerdem falsch positive Ergebnisse auftreten. Wenn nur tatsächlich Alkohol getrunken haben und ohne Alkohol trotzdem „positiv“ sind, ergibt sich , also etwa .

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Satz von Bayes

Wichtige Inhalte in diesem Video

Bayes Theorem

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Satz von Bayes Beispiel

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Dieser Artikel erklärt wie und wann man den Satz von Bayes anwenden kann, um Aufgaben zur bedingten Wahrscheilichkeit mit der Formel von Bayes zu lösen .

Das sind dir zu viele Sätze? Alles, was du zur Bayes Formel wissen musst, erfährst du auch in unserem Video , ohne auch nur einen einzigen Satz lesen zu müssen!

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Bayes Theorem

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(00:10)

Der Satz von Bayes gehört zu den wichtigsten Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Er ermöglicht es die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen, falls eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten bereits bekannt ist. Dieser mathematische Satz ist auch unter den Namen Formel von Bayes oder Bayes Theorem bekannt.

Satz von Bayes Formel

Die mathematische Formel für den Satz von Bayes sieht so aus:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}$

Hier ist P(A|B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A falls B bereits eingetreten ist. Analog steht P(B|A) für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses von B unter der Bedingung, dass A eingetreten ist. P(A) und P(B) stehen jeweils für die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse.

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Satz von Bayes einfach erklärt

Wenn man also die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung von A gegeben hat kann man mit der Bayes Formel auch die bedingte Wahrscheinlichkeit berechen, dass A eintritt, wenn B bereits eingetreten ist. Einfach gesagt ermöglicht der Satz von Bayes es Schlussfolgerungen von der anderen Seite aus zu betrachten: Man geht von dem bekannten Wert P(B|A) aus, ist aber eigentlich an dem Wert P(A|B) interessiert. Der Satz von Bayes folglich berechnet die umgekehrte Form der gegebenen bedingten Wahrscheinlichkeit.

Satz von Bayes Beispiel

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Schauen wir uns am besten gleich ein praktisches Beispiel dazu an. Stell dir vor, ein Kommilitone von dir wird nach dem Feiern von der Polizei aufgehalten und muss einen Alkoholtest machen. Bei Personen, die tatsächlich Alkohol getrunken haben, erkennt der Test das in 99,9% der Fälle.

Allerdings liefert er auch in 3% der Fälle ein positives Ergebnis, obwohl die getestete Person keinen Alkohol getrunken hat. Wir wissen also:

P(+|Alkohol)= 0,999

P(+|kein Alkohol)=0,03

Außerdem wissen wir, dass 5% der getesteten Personen tatsächlich Alkohol konsumiert haben:

P(Alkohol)=0,05

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person keinen Alkohol getrunken hat, liegt also bei 95%.

Der Test fällt bei deinem Kommilitonen positiv aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich Alkohol konsumiert hat?

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Satz von Bayes Herleitung

Diese Frage lässt sich mit Hilfe des Satzes von Bayes beantworten. Die beiden Wahrscheinlichkeiten, die wir im Zähler der Formel einsetzen müssen, haben wir gegeben. Allerdings fehlt uns noch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt. Da wir aber die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben haben, können wir das mit Hilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit herleiten. Ein positives beziehungsweise negatives Testergebnis kürzen wir im Folgenden mit einem Plus beziehungsweise einem Minus ab.

Satz von Bayes Beispieldaten — Satz von Bayes Herleitung

Satz von Bayes Anwendung

So, jetzt müssen wir nur noch alle Werte in die Formel von vorhin einsetzen.

Da der Test positiv ausgefallen ist, hat dein Kommilitone also mit einer Wahrscheinlichkeit von 63,67% tatsächlich Alkohol getrunken.

Das wars auch schon zum Satz von Bayes! Hier findest du nochmals die allgemeine Formel:

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}$

Satz von Bayes — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit?

Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, indem man alle möglichen, sich gegenseitig ausschließenden Fälle berücksichtigt, in denen es eintreten kann. Formal gilt $P(B)=\sum_i P(B \mid A_i)\,P(A_i)$ . Beim Testbeispiel wäre $P(+)=P(+ \mid \text{Alkohol})P(\text{Alkohol})+P(+ \mid \text{kein Alkohol})P(\text{kein Alkohol})$ .
Was ist der Unterschied zwischen bedingter Wahrscheinlichkeit und dem Satz von Bayes?

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit wie $P(A \mid B)$ beschreibt, wie wahrscheinlich ist, wenn bereits eingetreten ist. Der Satz von Bayes ist eine Rechenregel, mit der man $P(A \mid B)$ aus der „umgekehrten“ Wahrscheinlichkeit $P(B \mid A)$ und den Grundwahrscheinlichkeiten und bestimmt.
Wie entscheidet man bei einer Bayes-Aufgabe, welches Ereignis A und welches Ereignis B ist?

Bei Bayes-Aufgaben legt man als das Ereignis fest, dessen Wahrscheinlichkeit nach dem Beobachten gesucht ist, und als die beobachtete Information, auf die man „bedingt“. Dann prüft man, welche gegebenen Angaben zu $P(B \mid A)$ und zu $P(B \mid \text{nicht }A)$ passen, damit am Ende tatsächlich $P(A \mid B)$ gefragt ist.
Warum kann ein Test mit hoher Trefferquote bei positivem Ergebnis trotzdem oft falsch liegen?

Ein Test kann trotz hoher Trefferquote bei Erkrankten oft falsch liegen, weil ein positives Ergebnis nicht $P(\text{Krank} \mid +)$ , sondern meist $P(+ \mid \text{Krank})$ beschreibt und außerdem falsch positive Ergebnisse auftreten. Wenn nur $5\,\%$ tatsächlich Alkohol getrunken haben und $3\,\%$ ohne Alkohol trotzdem „positiv“ sind, ergibt sich $P(\text{Alkohol} \mid +)=\frac{0{,}05}{0{,}05+0{,}03\cdot 0{,}95}\approx 0{,}637$ , also etwa $63{,}7\,\%$ .

Wahrscheinlichkeitsrechnung verstehen

Der Satz von Bayes ist ein wichtiger Baustein der Wahrscheinlichkeitsrechnung und taucht oft bei Tests und Diagnosen auf. Du rechnest mit Ereignissen und Prozentwerten und ordnest Angaben wie Trefferquote und Fehlalarm sicher zu. So erkennst du, wie aus mehreren Teilwahrscheinlichkeiten eine gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit wird und warum der Nenner die Gesamtwahrscheinlichkeit sammelt. Weitere Videos dazu findest du in unserem Statistikbereich.

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